高校物理

エネルギー・仕事の理解

エネルギーってなに?

エネルギー保存の法則って

どんな場合に使えるの?

 

 

 

高校物理において、

エネルギー・仕事の理解は最も重要といえるでしょう。

 

しかし、意外に、「エネルギーってなに?」と聞かれて正確に答えられる生徒は少ないです。

 

また、力学的エネルギー保存の法則をきちんと理解して用いているか、

というとこれも心もとないです。

 

本書では、その辺り、

 

エネルギーとはなにか、

力学的エネルギー保存の法則をどう運用するのか、

 

について述べたいと思います。

 

 

①イントロダクション

 

 

テコを用いれば小さい力でより重いものを持ち上げることができる、

というのは皆さんご存じでしょう。

 

これは、小さい力を大きい力に転換できたということです。

不思議ですね。

「力は得することができる」と言ってもいいでしょう。

 

このとき、小さい力と大きい力の間になにか関係・法則は成り立っていないでしょうか?

 

力の大きさをf、F、それぞれの力で動かした距離をx、Xとすると

 

fx=FX

 

が成り立っています。

 

小さい力を大きい力に転換する場合、

小さい力を長い距離はたらかせなければならず、

大きな力がはたらく距離は短いということです。

 

どうやら

 

(力)×(力をくわえた距離)

 

という量になにか意味がありそうです。

 

もう少し厳密な話をします。

 

等加速度運動の式を3つ習ったでしょう。覚えていますか?その内1つに

 

v2v02=2ax

 

という式がありました。

この式の両辺に運動する物体の質量をかけます。すると

 

mv2mv02=2max

 

ここに、運動方程式F=maを用いて

 

mv2mv02=2Fx

 

∴1/2・mv2-1/2・mv02=Fx

 

という式が導かれました。

 

この式の意味するところは

 

された仕事の分だけ運動エネルギーが変化する

 

あるいは

 

失った運動エネルギーの分だけ仕事ができる

 

ということです。

 

これを「エネルギーの原理」といいます。

 

「仕事」とは、「Fx」、

先のテコのところで出てきた

 

「(力)×(力をくわえた距離)」

 

のことです。

 

「運動エネルギー」とは、「1/2・mv2」のことです。

 

この2つの量、

「仕事」と「運動エネルギー」が、

運動において、

「エネルギーの原理」の関係を満たします。

 

このことが、エネルギー・仕事の理解において、

第一にわかっていないといけないことです。

 

この関係があってこそ、「仕事」、「エネルギー」といった概念が意味を持ちます。

 

 

 

 

②仕事の概念

 

 

仕事について詳しく説明します。

 

大きさFの力をくわえて、その力の向きに物体を距離x移動させたときの仕事W

 

W=Fx

 

「その力の向きに」がポイントです。

 

力をくわえても、物体の変位方向と垂直に力をくわえていれば、

力の向きには物体は変位していませんから、仕事は0です。

 

すごく重いものが置かれていて、

それに力をくわえてもびくともしなかった。

 

でも、「力を支出した」のだから、

仕事をしたんじゃないか、

と思うかもしれません。

 

しかし、物体が動いていなければ仕事は0になります。

 

エネルギー・仕事において意味を持つのは、「力の支出」ではなくて「(力)×(距離)」です。

 

また、物体の変位方向と逆向きに力をくわえていれば、

仕事は負になります。

 

例えば、走っている車にブレーキをかけて減速した場合、

ブレーキによる力のした仕事は負です。

力が車の運動方向と逆にかかるからです。

 

大きさFの力をくわえたとき、

物体が力と逆向きにx変位したとしたら、

力のした仕事W

 

W=-Fx

 

力をくわえても動かしていなかったら仕事は0、

ブレーキをかけたら仕事は負、

とイメージすれば分かりやすいでしょう。

 

また、力の向きと物体の変位がある角をなしている場合は、

変位の力方向成分を求めて、

それを力の大きさにかければよいです。

上の図で、物体の移動距離はxですが、

力の向きにはxcosθ移動しているので、仕事W

 

W=Fxcosθ

 

です。

 

横からだとゼロ

逆向きだと負

斜めは成分

 

と覚えてください。

 

この仕事の概念が、

先ほどのエネルギーの原理の関係によって、

運動エネルギーと結びつくのです。

 

 

 

 

③エネルギーってなに?

 

エネルギーの原理

「失われた運動エネルギーの分だけ仕事ができる」

 

これから

 

エネルギーとはいくら仕事ができるか

エネルギーとは仕事能力である

 

といえます。

 

エネルギーって何?と問われたら正確に答えられますか?

 

たぶん、発電などで生み出されるなんだか有用なもの、

といった曖昧な回答をする人が多いのではないでしょうか。

霊魂のようなものを想像する人もいるかもしれません。

 

エネルギーとは仕事能力です。

そういう概念です。

 

概念といっても、きちんとその量を計算できて、

現実的に役立てられていますから、

物理学的実在といっていいでしょう。

幽霊のような空想の産物とは一線を画します。

 

エネルギーとは仕事能力ですから、いろんなエネルギーが考えられます。

 

ハンマーを振り下ろすと何かを割ったり、

釘を打ち込んだり、仕事ができます。

 

これは高い位置にあるものは仕事能力がある、

つまりエネルギーを持つのだ、ということができます。

このエネルギーを「位置エネルギー」といいます。

 

質量mの物体には、鉛直下向きに大きさmgの重力がはたらきます。

この重力は高さh落下する間にmghの仕事をすることができます。

 

したがって、

高さhの位置にある質量mの物体は

位置エネルギーmghを持つということです。

 

高さhということは、

高さが0の基準点が決まっていないといけません。

 

位置エネルギーをいうためには、

基準点を決める必要があるのです。

 

基準点はどこでもかまわないのですが、

とにかくどこかに決めなくてはいけません。

 

重力に対しては位置エネルギーを定義できますが、

摩擦力には位置エネルギーを定義することができません。

 

なぜなら、例えば、同じA点からB点まで物体を移動させる場合でも、

移動経路が異なると、摩擦力がする仕事は異なるからです。

 

これでは、

摩擦力は○○の仕事能力(エネルギー)がある、

ということができませんね。

これに対して、

重力は、はじめの位置と終わりの位置が決まれば、

経路に関係なく、その間にできる仕事が決まります。

 

だから、位置エネルギーが定義できるのです。

 

このような、その力がする仕事が、

はじめの状態と終わりの状態だけで決まり、

経路に依存しないような力を「保存力」といいます。

 

エネルギーは仕事能力ですから、仕事を介して異なるエネルギーに転化していきます。

 

hの高さにあったものが、落下することによって速さvになった。

 

これは重力が位置エネルギー分の仕事をして物体に速さを与えた、

つまり、位置エネルギーmghが運動エネルギー1/2・mv2に転化したということです。

 

運動において保存力以外に仕事をする力がない場合

位置エネルギーと運動エネルギーの和が一定に保たれます。

 

これを「力学的エネルギー保存の法則」といいます。

 

位置エネルギーと運動エネルギーが相互に転化しながら運動が行われるということです。

 

力学的エネルギーとは位置エネルギーと運動エネルギーのことです。

 

保存力以外に仕事をする力がある場合、

保存力以外の力がした仕事の分だけ力学的エネルギーが変化します。

 

まとめます

 

「エネルギーの原理」

された仕事の分だけ運動エネルギーが変化する

 

「力学的エネルギー保存の法則」

仕事をする力が保存力だけのとき、位置エネルギーと運動エネルギーの和が保存される

 

「エネルギーの原理の別表現」

 保存力以外の力がした仕事の分だけ、位置エネルギーと運動エネルギーの和が変化する

 

mgh+1/2・mv2=(一定) 」などと公式を暗記するのではなく、

「仕事をする力が保存力だけのとき、位置エネルギーと運動エネルギーの和が保存される」

と言葉で覚えた方がよいでしょう。

 

 

 

 

④力学的エネルギー保存の法則の使い方

 

エネルギーの原理・力学的エネルギー保存の法則を

なんとなく使っている人がほとんどだと思うので、

どのように考えて、どう使えばいいのか、

詳しく説明したいと思います。

 

ここを理解すれば、

明確な意図を持って法則を運用できるようになり、

応用問題にも対応できるようになるでしょう。

 

使い方の手順は以下のようです。

後で具体的な問題を用いて解説するので、

一読で理解する必要はありません。

 

①はたらく力をすべて挙げる(図にする)

②すべての力を、仕事をする力としない力に区別する

③仕事をする力が保存力かどうか判断する

④仕事をする力がした仕事量を求める

⑤エネルギーの原理・力学的エネルギー保存の式を立てる

 

この手順を具体的な問題に当てはめてみましょう。

 

 

<練習問題1>

Ⅰ (1)高さhの位置に質量mの小物体がある。

高さ0の位置を基準面として、

小物体の位置エネルギーはいくらか。

重力加速度をgとする。

(2)高さhの位置から小物体を自由落下させた。

高さ0の位置に達したときの小物体の速さv1を求めよ。

 

Ⅱ 今度は角度θの滑らかな斜面上において小物体を滑らせる。

(3)小物体を斜面上の高さhの位置で静止させてから、

支えをはずして斜面を滑り降ろさせる。

高さ0の位置に達したときの小物体の速さv2を求めよ。

 

Ⅲ 次にⅡの斜面に摩擦がある場合を考える。

斜面と小物体間の動摩擦係数をμとする。

 

(4)小物体を斜面上の高さhの位置で静止させてから、

支えをはずすと小物体は斜面を滑り降り始めた。

高さ0の位置に達したときの小物体の速さv3を求めよ。

 

<解説>

(1)位置エネルギーはmgh

 

(2)手順にしたがいます。

 

①まず、力をすべて挙げる、からです。

はたらく力は重力のみです。

 

②次は、力が仕事をするかどうか、です。

高さが変化するので重力は仕事をします。

 

③仕事をする力が保存力かどうか

重力は保存力です。

 

仕事をする力が保存力だけなので力学的エネルギーが保存されます。

 

力学的エネルギー保存の法則は、位置エネルギーと運動エネルギーの和が保存される、です。

 

はじめは、位置エネルギーがmgh、運度エネルギーが0。

終わりは位置エネルギーが0、運動エネルギーが1/2・mv12

 

よって

 

0+1/2・mv12=mgh+0

v1=√(2gh)

 

(※ルート表記がうまくできません。くみ取ってください)

 

(3)手順にしたがいます。

 

①力をすべて挙げる

滑り降りる過程で、はたらく力はmgと垂直抗力N

②仕事をする力としない力に区別する

力が仕事するかどうかを判断するためには、

力の向きと運動方向が垂直かどうかを調べます。

 

垂直抗力Nは運動方向と垂直なので仕事をしません。

重力mgは高さが変化しているので仕事をします。

 

③仕事をする力が保存力か

仕事をする力mgは保存力です。

 

仕事をする力が保存力だけなので、力学的エネルギーが保存されます。

 

はじめ、位置エネルギーmgh、運動エネルギー0。

おわり、位置エネルギー0、運動エネルギー1/2・mv22

 

よって

 

0+1/2・mv22=mgh+0

v2=√(2gh)

 

 

(4)ここも手順にしたがいます。

 

①はたらく力をすべて図示します。

重力mg、垂直抗力N、摩擦力、これですべてです。

②力が仕事をするかしないか

力の向きと運動方向が垂直かどうか、です。

 

重力は高さが変化しているので仕事をしています。

垂直抗力は向きが運動方向と垂直なので仕事をしません。

摩擦力は運動方向と逆向きなので負の仕事ですね。

 

③仕事をする力が保存力か

重力は保存力です。摩擦力は保存力ではありません。

 

仕事をする力に保存力でない力があるので、

力学的エネルギー保存は使えません。

 

エネルギーの原理「保存力以外のした仕事の分だけ力学的エネルギーが変化する」を使いましょう。

 

まず、摩擦力の大きさfを求めましょう。

 

f=μN

N=mgcosθ

f=μmgcosθ

 

小物体は斜面に沿って下向きに h/sinθ 変位します。

力の向きと変位が逆向きなので仕事は負です。

動摩擦力がした仕事をWとすると

 

W=-f×h/sinθ=-μmgh/tanθ

 

はじめの、位置エネルギーmgh、運動エネルギー0。

おわりの、位置エネルギー0、運動エネルギー1/2・mv32

 

よって、エネルギーの原理「力学的エネルギーの変化=保存力以外のした仕事」は

 

(0+1/2・mv32)-(mgh+0)=W

1/2・mv32mgh=-μmgh/tanθ

v3=√{2gh(1-μ/tanθ)}

 

 

または、エネルギーの原理「運動エネルギーの変化=された仕事」つまり

「運動エネルギーの変化=重力のした仕事+摩擦力のした仕事」より

 

1/2・mv32-0=mgh+W

 

としてもよいです。

 

このように手順に従います。

 

こんなに丁寧にやらなくても、

なんとなくエネルギー保存でいけるやん、

と思うかもしれません。

 

しかし、いい加減な考え方をしていると難しい問題には対応できません。

簡単な問題からきちんと手順を押さえていきましょう。

 

<練習問題2>

質量mの小球に長さrの軽い糸をつないで、

鉛直面内で円運動をさせる。

 

図のように、円の最下点を速さv0で出発させる。

図の、最下点から糸が角θをなす状態に小球が達したときの小球の速さvを求めよ。

重力加速度をgとする。

 

<解説>

手順にしたがいます。

 

①まず、はたらく力をすべて図にします。

運動の過程ではたらく力は重力mgと糸の張力Tです。

②次に、力が仕事をしているかいないかです。

 

高さが変化しているので、重力は仕事をしています。

張力は糸に平行で、糸は円運動の径です。

ということは、小球の速度(小球の運動方向)と張力の向きは常に垂直です。

したがって張力は仕事をしていません。

 

このように1つ1つ仕事するかしないか判断します。

 

③重力は保存力です。

 

仕事をする力が保存力だけなので力学的エネルギー保存の法則が使えます。

 

最下点を基準点とすると、

はじめの、位置エネルギーは0、運動エネルギーは1/2・mv02

おわりの、位置エネルギーはmgr(1-cosθ)、運動エネルギーは1/2・mv2。よって

 

mgr(1-cosθ)+1/2・mv2=0+1/2・mv02

 

これを解いて

 

v=√{v02-2gr(1-cosθ)}

 

この問題は、

張力が仕事をしないことを見抜けるかどうかがポイントです。

 

なんとなくエネルギー保存ではなく、

張力が仕事をしないからエネルギー保存だ、

と理由を指摘できるようになりたいところです。

 

はたらく力は重力と張力

重力は仕事をする、張力はしない

重力は保存力

したがって、力学的エネルギー保存の法則が使える

 

きちんとこのように考えることができましたか?

 

<練習問題3>

床に固定された、水平面と角度θをなす、なめらかな斜面上に、ばね定数kのバネを置く。

バネの下端は固定されていて、上端には質量mの小球がつながれている(図参照)。

 

小球を引っ張ってバネを伸ばし、バネの伸びがx0になったところでいったん小球を静止させる。

 

その状態から小球を静かに放すと小球は斜面に沿って滑り降り始めた。

 

バネの伸びが0になったときの小球の速さvを求めよ。

 

ただし、バネは最大傾斜の方向に沿って置かれており、その方向にのみ伸縮する。

重力加速度はgとする。

 

<解説>

エネルギーについての式を立てます。手順を踏みます。

 

①まず、力をすべて挙げる、からです。

重力mg、バネの伸びがのとき弾性力kx、垂直抗力N、これですべてです。

 

②次は、仕事をするかしないかの判断。

重力、弾性力は変位と垂直ではないので仕事をします。

垂直抗力は変位と垂直なので仕事をしません。

 

③保存力かどうかの判断

重力、弾性力ともに保存力です。

 

仕事をする力が保存力だけなので、運動の過程で力学的エネルギー保存の法則が成り立っています。

 

重力の位置エネルギーの基準点をばねの伸びが0のときの小球の高さとすると

 

はじめの、

弾性力による位置エネルギーは1/2・kx02

重力による位置エネルギーはmgx0sinθ

運動エネルギーは0。

 

おわりの、

弾性力による位置エネルギーは0、

重力による位置エネルギーは0、

運動エネルギーは1/2・mv2

 

よって

 

1/2・kx02+mgx0sinθ+0=0+0+1/2・mv2

v=√(k/mx02+2gx0sinθ)

 

この問題、

力学的エネルギー保存の法則「 mgh+1/2・mv2=(一定)」

などと公式を暗記しているだけの人は、

 

位置エネルギーが、

重力による位置エネルギーと弾性力による位置エネルギーの2つもある、

どうしたらいいんだ~?

となってしまったかもしれません。

 

力学的エネルギー保存の法則

「仕事をする力が保存力だけのとき、位置エネルギーと運動エネルギーの和が保存される」

 

と法則の内容をきちんと理解した上で、手順を押さえていれば

 

①はたらく力は、重力と垂直抗力、弾性力

②重力と弾性力は仕事をする、垂直抗力はしない

③重力と弾性力は保存力

④位置エネルギーと運動エネルギーの和が保存される

 

と整理して解けます。

 

 

 

 

 

以上、エネルギー・仕事の考え方の手順を説明しました。

 

エネルギーの原理や力学的エネルギー保存の法則を使うとき、

それが成り立つ条件を考えなければいけないこと、

また、

どういう手順を踏めばいいのか、

がわかりましたか?

 

こういうことをしっかり押さえられていないと、

簡単な問題ならなんとかなっても、

応用問題は手こずると思います

 

高校物理には独特の作法があって、

苦手な人はまったくチンプンカンプンだったりします。

 

法則を暗記するだけではダメで、

意味を理解した上で、

どういう条件でそれが成立するのか、

具体的に問題を解くときどのように使うのか

ということまで理解している必要があります。

 

本書はエネルギー・仕事についてのものですが、

考え方、取り組む姿勢はほかのところでも参考になると思います。

 

今回は、運動する物体が1つの場合のみを扱いました。

物体が2つの場合はもう少し掘り下げる必要があります。

具体的には、以下の必殺の式を活用します。

 

2物体間の内力がする仕事を求める際、次の「必殺の式」が役に立つ

 

この「必殺の式」を含め、

2物体のエネルギー・仕事については、

元の物理の教材紹介ページにお戻りください。

 

物理の教材『エネルギー・仕事と運動量』の紹介ページに戻る

 

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著者プロフィール

 

大阪の家庭教師 稲葉康裕

 

大阪近辺で高校物理、高校化学の家庭教師を行っています。

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京都大学理学部卒

 

 

 

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